“p-adic理论，你们可以称之为p进数理论，是咱们数论中一个较为重要的基础理论，同时，它和数学中的其他领域也能十分融洽，甚至也可以作为未来你们上研究生之后的一个研究方向。”

　　说到这，林晓微微一笑：“上一届国际数学家大会中，有位31岁的菲尔兹奖得主叫做彼得·舒尔茨，他就是研究p-adic理论的，他利用一种十分绝妙的方法，将一些十分复杂的几何问题引入到了p-adic理论当中实现了简化，然后解决了不少的问题。”

　　“比如他通过引入拟完备空间把算术代数几何转换到p进域上，可将局部域上的算术问题简化表示为特定的特征及特征域的组合。”

　　“利用这个技术，他便成功地将霍奇理论中的近纯定理实现了推广。”

　　“所以研究这个理论，说不定就有可能让你得到一个菲尔兹奖。”

　　听到林晓的话，在场的学生们纷纷翻了个白眼。

　　瞧您说的，就跟只要研究了这个东西就能拿奖似的。

　　真要有这么容易的话，他们还能坐在这里？

　　当然，林晓的这一番介绍，还是给了他们这些学生一些兴趣，一位菲尔兹奖大佬都研究的东西，他们研究一下，不是更好？

　　尤其是林晓还提到了霍奇理论，虽然他们不是都知道霍奇理论，但是作为学数学的，他们都知道霍奇猜想嘛。

　　嗯，能跟千禧年大奖难题挂上钩的东西，肯定是好东西。

　　于是这些学生们都露出了认真的表情。

　　而见到他们的表情，林晓微微一笑，引起了兴趣，这就方便他之后的讲课了，于是他不再多说，开始了关于p-adic理论的正式讲述。

　　“p进数是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念，我们一般用Qp来表示……”

　　课堂开始，在场的学生们也都开始了认真地思考。

　　尽管在场的学生们基本都在之前做过了预习，但是对于学习数学的学生来说，那种哪怕看书也看不懂的知识，也算是十分的常见。

　　而这个p-adic理论，当然也使得不少学生感到了比较难以理解。

　　毕竟相比起他们以前所学习的那些数论中的经典定理等，p-adic理论这种连名字都稍微有些奇怪的理论，他们想要理解这个玩意儿，也仍然有些困难。

　　当然，这时候就要轮到老师来起作用了。

　　随着林晓的详细讲述，这些数学中的尖子生们，也逐渐能够理解了起来。

　　于是就这样，这节课的前30分钟，林晓引领着这些学生们理解了什么是p-adic理论。

　　“现在，各位同学应该基本理解了什么是p进数。”

　　“p进数主要有两个性质。”

　　“第一个，是代数性质。”

　　“在代数上，Qp是Zp的分式域，跟准确地说，Qp=Zp[1/p]……”

　　“大家要记住，在咱们数论的领域中，p进数的代数性质是比较重要的，大家回去之后要好好学习一下这方面的知识，巩固一下，考试是会考的哦~”

　　说到这，林晓微微一笑。

　　而见到他的这个笑容，在场的学生们纷纷哆嗦了一下，连忙拿起笔，将这一点记了下来。

　　在场的学生谁不知道，只要说到考试可能要考的地方，林神一笑，他们可就生死难料了。

　　因为这意味着林晓往往会在这方面出上一道压轴题，虽然说难度不会有之前那道题那么难，但是得分率肯定也不会高。

　　而看着他们记笔记，林晓笑呵呵的安慰道：“大家别紧张嘛，毕竟我又不是什么魔鬼。”

　　然而在座的每一位同学信都不信，纷纷翻了个白眼，然后在这个地方又多加了一个重点标记，顺便写上“非常重要”四个字，免得之后复习时给忽略了。

　　而见到没人相信自己，林晓耸耸肩，继续讲起了课：“那么就是第二个性质，也就是拓扑性质，拓扑性质的话，倒不是重点，我之前也说过，学习我们如今的数学，专精一个方向其实是最好的，你们如果有兴趣往拓扑方面发展一下的话，可以研究研究，不过现在的话，我就简单讲讲就行。”

　　“p-adic的拓扑性质，主要表现为在Qp上的范数，|·|p是一个超度量的范数。它不仅满足三角不等式，而且满足更强的关系……”

　　“这说明，如果将Qp想象成一个几何空间，那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者，也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此Qp和R具有截然不同的拓扑性质……嗯？”

　　说到这里的时候，林晓的眉头忽然皱了一下，停止了自己的讲述。

　　而在场的学生们听到林晓“嗯？”了一声就不说话了，便都感到了疑惑。

　　这是怎么了？

　　不过，林晓迟疑了片刻之后，又继续讲述起来：“Qp上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间，同时，Qp是由Q完备化而得，因此Q在Qp中稠密，不仅如此，任意给定……嗯？”

　　刚说到这里，林晓忽然又停了下来，抬头看着PPT上面他列出的一些陈述p进数拓扑性质的数学式，一只手扶住下巴，陷入了沉思的状态中。

　　而这就更让在场的学生们好奇了。

　　林晓这是想到啥了？

　　“你们说，林神不会又顿悟了吧？”

　　底下，一名学生小声说道。

　　其他人便都若有所思地点点头：“好像是的吧……”

　　毕竟，林晓的顿悟，可是全球都出名了的。

　　“这又是要顿悟啥了啊……”

　　“说不定是霍奇猜想呢？林神上课前不是就说这个p-adic理论和霍奇理论有关系嘛。”

　　“霍奇猜想虽然和霍奇理论有关系，但是霍奇理论包括的内容更大吧？我记得霍奇理论主要讲的是一种利用偏微分方程研究光滑流形M的上同调群的方法，霍奇猜想只是包括在里面吧？”

　　“狗子，你连这都知道？别卷啦别卷啦~”

　　……

　　正当底下学生们都看着林晓那盯着ppt思考的模样时，林晓终于回过了神。

　　想起自己此时还在上课，他便回过了神，歉意道：“不好意思，刚才想起了其他事情。”

　　“咱们继续。”

　　随后，他便加速地讲起了课，当然，其实讲到这里他也基本快完了，很快地把拓扑结构讲完，然后按照惯例给他们出了一道题，让他们自己做。

　　而后，林晓便坐在办公桌上，找出了纸和笔，开始计算起来。

　　他刚才为什么停顿了两下，便是因为他在这个p-adic理论上，看到了能够帮助他解决当前所面临的霍奇猜想中的一个问题。

　　“通过引入拟完备空间把算术代数几何转换到p进域上，并应用于伽罗瓦表示，完全可以用来开发一个新的上同调理论……”

　　“而且完全可以是Motive上同调！”

　　林晓在纸上写下了数个看起来十分复杂的式子，然后开始尝试着往上同调方向靠去。

　　但是片刻后，他眉头再次一皱。

　　“如何证明有一类有限非分歧伽罗瓦扩张L/Kp，其环为O`，剩余域为k`，对其分别存在A`∈H1（E*o′，Z/2(1)）?”

　　“不解决这个问题的话，在伽罗瓦表示的过程上，将存在一定的问题……”

　　思考片刻后，他索性直接登录了自己的邮箱，然后将他的思路附在上面，然后发给了彼得·舒尔茨。

　　他当然有彼得·舒尔茨的联系方式。

　　不过，因为他用的是多媒体上面的电脑，而投影直接投到了黑板的屏幕上面，于是在场的学生们全都看见了。

　　当看见林晓将他的思路附上去后，在场的学生们都是茫然的。

　　这是啥玩意儿？

　　他们除了开头认识一个p-adic，之后就啥都不认识了，而且林晓因为是发给彼得·舒尔茨的，所以他这封邮件也是全英文的，这就更让在场的学生们感到迷茫了。

　　原来这就是数学顶级大牛平常研究的东西吗？

　　然而这还没完，当最后，他们看到林晓附上了彼得·舒尔茨的名字时，就更加惊呆了，林晓这封邮件，居然是发给一位菲尔兹奖得主的？

　　什么叫人脉？这特么的就叫人脉！

　　而这些，暂时和他们都没有关系，他们只能低下头，继续苦逼地做起了他们的题。

　　就这样，时间很快的过去了。

　　下课铃声响起，十分钟之后，上课铃声再度响起，林晓继续讲课。

　　很快这节课差不多快结束的时候，林晓留给了学生们一段自习的时间，而他则继续进入了邮箱中，惊讶地发现，彼得·舒尔茨居然这么快就回复了。

　　打开邮件，彼得·舒尔茨是直接发了一封附件过来，他下载了附件之后，便看了起来。

　　【林教授，你好！很高兴收到你的来信，没想到你对我当初的研究也会产生兴趣，我看完了你的信，想来你现在研究的应该是霍奇猜想吧？

　　关于你的问题，如何证明这个关于伽罗瓦表示的问题，在最近我研究霍奇理论的时候，恰好有所研究。

　　首先注意，可以把A`∈H1（E*o′，Z/2(1)）设为H1et(E，Z/2)的类，由于其在剩余域中是可逆的，这个群将E上的Z/2参数化……

　　Br(S′)[2]→Br(S′Kp

)[2]=Z/2，到这里，我们需要继续将其归类为p进域中，然后用数论的方法将其解决，相信在这个问题上，没有比林教授你更多的了。

　　其实在研究霍奇理论的过程中，我对霍奇猜想也有过思考，不知道你有没有看过2016年罗森松·安德烈亚斯的那篇论文，那里面对如何获得正确的积分霍奇猜想，做出了推测，我推荐你去看看，总而言之，上同调和霍奇猜想紧密相连，或许Motive，就是解决霍奇猜想最关键的因素！

　　……】

　　看完了这篇回信，彼得·舒尔茨基本上没有任何藏私，并且给予了林晓很大的启发。

　　还有舒尔茨推荐的那篇论文，林晓自然是看过的。

　　而现在，他已经有了真正解决霍奇猜想的底气了。

　　至少，是对霍奇猜想的重要阶段性成果。

　　想到这，他长出一口，然后嘴角一翘。

　　或许，去国际数学家大会的时候，可以换一个报告主题了？


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